線形代数3.行列の階数(rank)とは?

今回は行列の階数について説明していきたいと思います。行列の階数という用語は線形代数の教科書でたくさんでてきます。ぜひ苦手意識を克服していきましょう!

階数とは?

階数とは「簡約化した行列にある主成分を含む列の個数」のことを指します。具体例として前回説明した簡約化についてのページで使った行列を使って説明します。

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\0&0&0 \end{bmatrix} $$

上に示した簡約化された行列について、主成分を含む列の個数は2つであることがわかります。先ほど説明した通り行列の階数は 簡約化した行列にある主成分を含む列の個数 できまるのでこの行列の階数は2となります。

前回説明した簡約化、主成分についてのページはこちら

http://www.eeengblog.com/2019/06/30/線形代数 2.簡約化とは?/

具体的に階数は何に使う?

ここまでの説明で階数がどういったものかわかりましたが具体的に何に使うのかがわからなければ想像しにくいと思います。ここでは例として連立1次方程式が解をもつ条件を階数を交えて説明していきたいと思います。

例:連立1次方程式が解をもつ条件

行列の簡約化を用いて連立1次方程式を解くことを考えてきます。ここでは変数がn個の連立1次方程式

$$A\boldsymbol{ x}=\boldsymbol{ b }$$

について考えていきます。ここでAはn×m行列とします。この連立1次方程式の拡大係数行列$$[A:b]$$を考えると、この拡大係数行列の階数にはbが1列であることに着目すると

  • rank[A:b]=rank(A)・・・(1)
  • rank[A:b]=rank(A)+1・・・(2)

の2パターンについて考えられると思います。では最初に(2)の場合について考えていきます。(2)の場合についての例を下に示します。ここで拡大係数行列[A:b]は簡約化されたものとします。

$$\begin{eqnarray} [A:b] = \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 &1 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \end{array} \right) \end{eqnarray}$$

この簡約化された拡大係数行列[A:b]について考えていきます。[A:b]の主成分が一番右の列にある行$$ \left ( \begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{array}\right) $$ について対応する方程式は$$\begin{eqnarray}0x_1+0x_2+\dots+0x_n=1 \end{eqnarray} $$となります。この方程式の左辺は各xにどのような値を代入しても0になることがわかると思います。しかし右辺は1となるためこの方程式を満たす各xは存在しないということになります。このことから

$$A\boldsymbol{ x}=\boldsymbol{ b }は解をもたない!$$

ということがわかります。

上記に示したことから、連立1次方程式が解を持つには「主成分が拡大係数行列[A:b]の列に引いた線の右側に存在しない」ということかも?と気づいた方は勘が鋭いです。では、 「主成分が拡大係数行列[A:b]の列に引いた線の右側に存在しない 」ということは定式的にはどういうことなのでしょう?

主成分が拡大係数行列[A:b]の列に引いた線の右側に存在しないということは言い換えると「主成分が拡大係数行列[A:b]の列に引いた線の左側にしか存在しない」ということです。これはつまり拡大係数行列[A:b]の主成分の個数が係数行列Aの主成分の個数と等しいことを示しています。

$$連立1次方程式が解をもつ条件\\ \rightarrow \color{red}{rank[A:b]=rank(A)}$$

この条件を満たした場合のみ連立1次方程式は解をもちます。このように簡約化を行い階数(rank)を調べることで行列を解く前に解の存在の有無を求めることができます。

まとめ

今回は階数(rank)の定義を再度確認し、また連立1次方程式が解をもつ条件を例として階数がどのように使われるかを説明しました。階数はこれだけではなく後半のほうで学習するベクトル空間や線形写像といった内容にも出てくるので定義を覚えておきましょう。

東京農工大電気電子工学科所属の大学生 趣味:ショッピング、スノボ、映画鑑賞 大学の情報と学んだ知識をアウトプットしていきます!
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